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实际上,一般的三次函数是很复杂的,有一元和多元的,对于一元三次函数y=f(x),则对关系式f(x)求导,然后令f(x)的导数为0,解这个方程F(x)=0,得到X坐标上的特征点F(x1),F(x2),F(x3),,将这些特征点代入原函数,依次比较这些y坐标值,坐标值最大的对应点即为该函数的最大值.对多元的三次函数,须对指定的坐标系求其偏导数,再应用上述方法即可.
已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
#include<stdio.h>
int f(int x,int a,int b,int c,int d)
{
int y;
y=a*x*x*x+b*x*x+c*x+d;
return y;
}
void main()
{
int x,x1,x2;
int max;
int a,b,c,d;
b=c=d=0;
x=x1=x2=0;
a=1;
printf("请输入一元三次方程组的四个系数：");
while(scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d)&&a!=EOF)
{
printf("X的取值范围:");
scanf("%d%d",&x1,&x2);
if(x1>=x2)
{
int temp;
temp=x1;
x1=x2;
x2=temp;
}
printf("%d\n",x1);
max=f(x1,a,b,c,d);
for( int i=x1;i<x2;i++)
{
if(f(i,a,b,c,d)>max)
{
max=f(i,a,b,c,d);
x=i;
}
}
printf("在x为%d处取得最大值%d",x,max);
printf("\n");
printf("\n");
printf("\n");
printf("请输入一元三次方程组的四个系数：");
}
}
整型的
求含有绝对值的一元三次绝对值函数求极值
解题思路：（1）三次函数f（x）=x 3+ax 2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，说明方程f′（x）=0的两个根为1和-1，求出a与b，再代入f（-2）=-4，求出c值；
（2）由（1）求出f（x）的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出极值；
（3）由（2）已知f（x）的极大值和极小值，把端点值f（-2）和f（5），从而求出最值；
（1）∵三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1时取极值，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
∴
f′(1)＝0
f′(?1)＝0可得
3+2a+b＝0
3?2a+b＝0解得
a＝0
b＝?3；
∴f（x）=x3-3x+c，∵f（-2）=-4，可得（-2）3-3×（-2）+c=0，解得c=2，
∴f（x）=x3-3x+2；
（2）∵f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
若f′（x）＞0即x＞1或x＜-1，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0即-1＜x＜1，f（x）为减函数，
f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
f（x）极大值=f（-1）=-1+3+2=4，f（x）极小值=f（1）=1-3+2=0；
（3）∵求函数在区间[-2，5]的最值，
已知f（x）极大值=4，f（x）极小值=0，
f（-2）=（-2）3-3×（-2）+2=-8+6+2=0；
f（5）=53-3×5+2=112，
∴f（x）的最大值为112，f（x）的最小值为0；
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点；
①先分段
②分段求导，求出驻点
③分段求二阶导数，驻点的二阶导数值>0,驻点为极小值点，驻点的二阶导数值<0,驻点为极大值点，驻点的二阶导数值=0，驻点可能不是极值点
④判断不可导点（函数图像为尖角），左减右增为极小值点，反之为极大值点
⑤将极值点代入函数式，求出极值。
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